为什么抛物线不存在渐近线？

来源：大小吴的数学课堂作者：大小吴

同学们在学习双曲线和抛物线这两种圆锥曲线时，会发现抛物线图像与双曲线图像的一支很相近，它们都是向某个方向的无穷远处延伸的.我们知道双曲线有两条渐近线.然而，图像相似的抛物线却不存在渐近线.你知道这是怎么一回事吗？

1 什么是曲线的渐近线？

要探讨这个问题，首先我们要明确：

什么是曲线的渐近线？

来看看《数学分析》中对曲线渐近线的定义：

“

若曲线上的动点沿着曲线无限地远离原点时，点与某定直线的距离趋于，则称直线为曲线的渐近线.

可以把曲线的渐近线直观地理解为：曲线和直线无限靠近，但永不相交.这就是渐近线的特点.

比如说，曲线的渐近线为直线和.

又如，曲线的渐进线为直线和.

2 证明抛物线没有渐近线

那么，如何证明抛物线没有渐近线呢？我们可以采用反证法.

证明：不失一般性，假设抛物线存在渐近线.

根据抛物线的对称性，我们只需取抛物线第一象限内的部分进行证明即可.

取抛物线第一象限的某点，作，是直线上与横坐标相同的点，则.则有

可见， 在 也即上严格递增.

因此，当无限远离原点时，将趋于无穷大.

若记为直线的倾斜角，则我们又可以通过几何关系得知

因此当无限远离原点时，也将趋于无穷大，即到直线的距离趋于无穷大.这与原假设矛盾，所以抛物线不存在渐近线.

3 一般曲线的的渐近线

受上述问题的启发，我们可以讨论曲线在什么条件下存在斜渐近线，以及怎样求出该斜渐近线方程.

如图，现假设曲线有斜渐近线，则曲线上动点到渐近线的距离为

按渐近线的定义，当时（对讨论也可以得到相应的结果），，即

也即

又

故

也就是说，若曲线有斜渐近线，则常数与可相继由上述两个式子确定；反之，若由两式求得，则可知，从而为曲线的渐近线.

来看一个简单的例子：求曲线的斜渐近线.

由

得.

再由

得.

从而求得此曲线的斜渐近线方程为.

从这个角度也可以说明抛物线是不存在渐近线的.

考虑抛物线第一象限内的部分为曲线，那么

得.

然而

即不存在这样的常数.所以抛物线不存在渐近线！

[1]华东师范大学.数学分析（第五版上册）[Z].高等教育出版社，2019.[2]莫静波.对抛物线不存在渐近线的思考及严密证明[J].数学教学,2009,No.262(06):27.

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编辑：春雪