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在旋转黑洞能层中静止的物体超光速？

来源:中科院半导体所发布时间:2023-05-15

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文章来源：万象经验

作者：Eugene Wang

在旋转黑洞能层中静止的物体是超光速的。这句话听起来是相当矛盾的：物体怎么可能既静止又超光速呢？为了理解这句话背后的真实情况，我们还得从基础说起。

类时、类光和类空

在20世纪之前，人们认为时间是脱离三维空间的独立维度。在三维空间中，不管坐标系是如何选取的，两个固定点的距离是恒定的，我们可以用如下公式表示： $ds^2=dx^2+dy^2+dz^2$

后来，闵科夫斯基提出，洛伦兹变换是由三维空间和一维时间所构成的四维时空的变换。从此，单独的空间和单独的时间便不复存在，而只有二者的结合才是一项真实的存在。为了纪念他，人们把狭义相对论中的四维时空对应的几何叫作闵科夫斯基几何。

在闵科夫斯基几何中，两点之间的距离不再是一个不变的值，取而代之的是两个事件之间的时空间隔，我们可以用公式表示： $ds^2=-c^2dt^2+dx^2+dy^2+dz^2$ 。与三维空间中的距离不同，时空间隔 $ds^2$ 不仅可以是正数，也可以是负数和零。

使 $ds^2<0$ 的区域是类时的，这是一个不必超过光速就可以到达的区域，两个事件之间可以有因果关系；使 $ds^2=0$ 的区域是类光的，在这个区域当中只能以光速运动，两个事件之间只能有一种因果关系；使 $ds^2>0$ 的区域是类空的，这是一个只有超光速才能到达的区域，事件之间没有因果关系。

克尔-纽曼黑洞

在爱因斯坦发表广义相对论不久，史瓦西就得到了第一个解，我们称之为史瓦西解。但史瓦西解是比较简单的，只和质量有关。后来，又有物理学家把带电量也加入进去，得到了带电施瓦西解，或称为R-N解。1963年，克尔考虑了旋转的情况，得到了克尔解。后来，纽曼等人把克尔解推广到带电的情况，得到了克尔-纽曼解。在G=C=1的自然单位制下，我们可以把它写成如下形式（了解即可）：

$\begin{split} ds^2=-(1-\frac{2Mr-Q^2}{\rho^2})dt^2+\frac{\rho^2}{\Delta} dr^2+\rho^2d\theta^2\\ +[(r^2+a^2)\sin^2\theta+\frac{(2Mr-Q^2)a^2\sin^4\theta}{\rho^2}]d\phi^2-\frac{2(2Mr-Q^2)a\sin^2\theta}{\rho^2}dtd\phi \end{split}$

其中， $\rho^2=r^2+a^2\cos^2\theta,\Delta=r^2-2Mr+a^2+Q^2$ 。从这个公式我们可以看出，它由质量M、电荷Q和角动量J这三个参数所决定，角动量J是以单位质量角动量a=J/M来表示。当角动量为零时，它会退化成R-N解；当电荷为零时，它会退化成克尔解；当角动量和电荷为零时，它会退化成史瓦西解。

由克尔-纽曼解所描述的黑洞称为克尔-纽曼黑洞，它有两个视界和两个无限红移面。两个视界的半径为： $r_{\pm}=M\pm\sqrt{M^2-Q^2-a^2}$ ，而两个无限红移面的位置为： $r_{\pm}^s=M\pm\sqrt{M^2-Q^2-a^2\cos^2\theta}$ 。

从这两个式子我们可以看出，无限红移面和视界并不像我们所熟悉的史瓦西黑洞一样是重叠的。在无限红移面和视界之间，就是所谓的能层：外无限红移面和外视界之间是外能层，内无限红移面和内视界之间是内能层。此外，内外两个视界之间的区域是单向膜区，进入此区域的物体将不可避免向内部落去。

拖拽效应

现在，我们考虑一个在克尔-纽曼时空中静止的物体。此时，dr=dθ=dΦ=0，我们可以将克尔-纽曼解写成以下形式：

$ds^2=-(1-\frac{2Mr-Q^2}{\rho^2})dt^2=-\frac{(r-r_+^s)(r-r_-^s)}{\rho^2}dt^2$

当物体处于无限红移面之外，即 $r>r_+^s$ 或 $r<r_-^s$ 时，我们可以得到 $ds^2<0$ ，它的时空间隔是类时的，因此在物理上是允许的。当物体处于能层之内，即 $r_+<r<r_+^s$ 或 $r_->r>r_-^s$ 时，得到 $ds^2>0$ ，时空间隔是类空的，物体需要以超光速运动。这显然违背了相对论，因此物体是不能在能层中静止的。同理，在无限红移面也是不能静止的。