尊敬的用户:端午节放假期间(5月31日-6月2日),本站所有审核统一于节后处理,如不便之处敬请谅解!祝端午安康!
楼梯悖论:3+4=5?
来源:中科院半导体所 发布时间:2022-11-10 分享至微信

文章来源:万象经验
原文作者:Eugene Wang

如图所示,有一个水平长度为4、高度为3的两阶楼梯,它的阶梯总长为3+4。如果使阶梯变小,但增加阶梯的数量,它的总长仍然是3+4。然而,如果阶梯的数量是无穷的,最后它就变成了一条线,它的总长仍然是3+4。但是,根据勾股定理,我们可以算出这条线的长度为5,所以我们就得出3+4=5的错误结论,这个问题被称为楼梯悖论。

很多人都知道,这是因为折线和直线之间存在误差。但如果仅仅认识到这一步,总感觉这个问题不能得到很好的解释。例如,我们在用任意曲线积分求面积时,老师就教我们用无穷多的细矩形进行代替,但二者之间也是存在误差的。那为什么积分求面积就成立,而楼梯悖论就不对呢?

事实上,问题就在于,无限多个小误差累积起来会不会变成一个大误差。简单来说,积分求面积时的误差是两个无穷小长度的平方,即二阶无穷小。对它进行一阶无穷多次累加之后,我们得到的仍然是一阶无穷小。而对于所谓的楼梯悖论来说,它的误差是无穷小长度,即一阶无穷小,经过无穷多次累积后就可能变成一个可观的误差,所以折线不能用斜线代替。

如果只是用上述的语言进行描述,那么有些人可能还有点怀疑,那么下面我们就用一个例子来给大家一个直观的感受。如上图所示,误差面积为三角形Δs=dx·dy。我们令dy=k·dx,其中k为斜率,那么Δs=k·dx²。因为dx=L/n,所以Δs=k·(L/n)²。那么,把n个小误差累加起来,我们就得到:

所以,当n趋近于无穷时,总的误差S就趋近于零。

接下来,我们来看看所谓楼梯悖论的误差。如上图所示,小直角三角形处的长度误差ΔL=dx+dy-(dx²+dy²)^0.5。因为dy=(3/4)·dx,我们就有ΔL=dx/2。同样,dx=4/n,所以ΔL=2/n。那么,把n个误差累加起来,得到总误差:

所以,当n趋近于无穷时,我们不能把折线看成是斜线处理,并且它们之间的差总是等于2。

转载内容仅代表作者观点

不代表中科院半导体所立场



编辑:六块钱的鱼

[ 新闻来源:中科院半导体所,更多精彩资讯请下载icspec App。如对本稿件有异议,请联系微信客服specltkj]
存入云盘 收藏
举报
全部评论

暂无评论哦,快来评论一下吧!