数学告诉你，直觉有时候并不靠谱

来源：柚知识作者：小柚子

一般而言，我们在平时遇到问题，都会根据自己积累的知识和经验事先做出判断。
那么，这种直觉式的判断到底有多可靠呢？

比如说：

我以为只要努力就能收获成功

我以为每天跑步自己就能够变瘦

我以为9102年的自己会和之前的自己不一样

然而，到目前为止

不过，大量事实表明，不止我们生活中会出现很多出人意料的结果，数学中的很多结论其实也并不符合我们的想象。不信就跟着小编来一探究竟吧。

准备好了吗

壹

亮灯问题

刘慈欣的小说《三体》中，艾AA给小朋友们出过这样一道题：有一盏灯，关着，一分钟时闪亮了一下，再过半分钟又闪亮一下，再过十五秒再闪亮一下，以后就这样每过前面间隔时间的一半就闪亮一下，请问到两分钟时灯闪亮了多少次？

这里可以先看一下灯亮无数次需要花的时间是多少？

其实就是下面这个等比级数的和：

正好两分钟。反过来就是说，到两分钟时，灯闪亮了无数次。

这个问题最具迷惑性的地方就在于，灯仅仅闪亮两次就已经用了一分半的时间，很容易让人误以为两分钟内灯能够闪亮的次数十分有限。

这里我不得不插一句，大刘的科幻小说果然够硬，给小朋友们出的题目已经涉及到了级数求和问题，看来我的大学白读了！

贰

风力发电

已知风力发电功率与风速的三次方成正比，那么一段时间内的平均风速越大，风能够发电的功率是否也会越大？

直观来看应该是的，可是冷静一下就会发现，事情并没有那么简单！

可以看到，虽然，但是，所以一段时间内的平均风速越大，它的发电功率不一定更大，这个和风速随时间的变化有很大关系。

而之所以会形成速度越大功率越大的错觉，是因为我们很容易下意识地认为。

叁

生日悖论

根据大多数人的直觉，几十个人中有2人生日相同的概率应该远远小于50%。然而，概率论表明，如果一个房间里有23或23个以上的人，那么至少有两个人的生日相同的概率已经超过了50%。而在不少于60人的房间中，存在两人生日相同的概率甚至要大于99%，这一结论被称为生日悖论。

23人中至少有两个人生日相同的概率：

60人中至少有两个人生日相同的概率：

也就是说，如果一个人使用自己的生日用作密码，黑客破解该密码时往往只需随机尝试几十次就能成功，破解密码需要尝试的次数要远远小于密码可能的组合次数，这就是生日攻击，是一种著名的密码攻击方法。所以说，为了防止生日攻击，我们还是应该把密码设置得复杂一些的。

肆

圆环问题

考虑两根长短不同的绳子，其中短绳比一个圆圈长1米，长绳比地球赤道长1米，如果将两根绳子分别绕圆圈和赤道转一圈，它们之间都会存在空隙。那么，是短绳和圆圈之间的空隙更大，还是长绳和赤道之间的空隙更大呢？

光凭想象，应该是短绳和圆圈之间的空隙更大，毕竟1米与赤道相比太微不足道了。

下面来看一下：

假设绳子2的周长L2比圆圈1的周长L1长△L，由

有

△R的值竟然与圆的半径无关！

也就是说，短绳与圆圈之间的空隙和长绳与赤道之间的空隙是一样的，都是1/2π。而产生这一现象的根本原因在于圆的周长与半径呈正比。

伍

囚徒困境

囚徒困境描述了这样一个情境：两个罪犯被捕后隔离审查，但是警察证据不足。如果两个人都抵抗，就只能以轻罪判罚一年；如果一个坦白一个抵抗，就会形成检举者有功无罪释放，另一个抵抗从严判十年；如果两个都坦白，两人都会因证据确凿被判八年（见表格）。这种情况下，两个囚徒往往都会选择坦白。

可是，从表格看，最优的选择明明是两个囚徒都选择抵抗，为什么两个人都要选择坦白呢，主要原因是这样的：

如果A选择抵抗，那么B坦白会判0年，B抵抗会判1年；

如果A选择坦白，那么B坦白会判8年，B抵抗会判10年。

也就是说，不管A选择坦白还是抵抗，B选择坦白的收益显然要大于抵抗。反之，A的处境与B完全相同，A选择坦白的收益自然也要大于抵抗。所以，对于智商没有什么问题的囚徒而言，他们往往都会选择坦白，该点被称为这一问题的纳什平衡点。显然，纳什平衡点并不一定是问题的最优点。

约翰·纳什

陆

魏尔斯特拉斯函数

在我们绘制函数图像时，总是倾向于画出较为规则且光滑的曲线，在直观上想象一个处处连续但又处处不可导的函数是很困难的事，甚至连大数学家高斯都曾经假定连续函数不可导的点是有限或可数的。

可是偏偏存在这么一个函数，它处处连续还处处不可导，这一函数叫做魏尔斯特拉斯函数，其表达式为

魏尔斯特拉斯函数

魏尔斯特拉斯函数具有局部图形和整体图形相似（自相似）的特点，也就是说，函数的任何一小部分都是另一个自己，这正是该函数处处不可导的原因。

其实，魏尔斯特拉斯函数属于分形的一种，而这种自相似的性质出现在生活中的方方面面，比如：

孔雀羽毛分形

柒

黎曼级数定理

学过高等数学的同学应该都知道，

这里我们使用加法交换律和结合律，把级数做一些变形：

竟然有

这一问题的答案是由黎曼给出来的，即

黎曼级数定理：任意一个条件收敛级数，经过重排可以使之发散，或者收敛到任意一个指定实数（包括正负无穷）。

也就是说，加法交换律在交换有限项顺序的情况下并不影响最终结果，可是在交换无限项顺序后结果就可能发生变化了。

小编

看来有时候直觉并不靠谱

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编辑：六块钱的鱼