牛顿三定律+开普勒三定律=万有引力

文章来源：万象经验

作者：Eugene Wang

17世纪初，开普勒使用第谷对行星运动的精确观测数据，使用数学分析和推理的方法，得出了行星运动的三大定律。

开普勒第一定律又称椭圆定律：所有行星绕太阳运动的轨迹为椭圆，且太阳在此椭圆的一个焦点上。我们可以用极坐标系下的椭圆方程来表达：，其中p为椭圆的半通径。

开普勒第二定律又称面积定律：在相等的时间内，太阳和行星的连线所扫过的面积都是相等的。这个定律在数学上表达成以下形式：，其中为与行星有关的常数。

开普勒第三定律又称调和定律：行星绕太阳运转周期的平方与椭圆轨道半长轴立方之比为一常数。用数学公式表示为，其中为与行星无关的常数。

此外，我们还将极坐标系下有心力的方程写出来，后面有用：

开普勒的三条定律不仅简洁地总结了行星运动的特点，而且为后来牛顿提出万有引力定律奠定了实验基础。

根据牛顿第一定律，不受力的物体将保持静止或沿直线匀速运动。但是，根据开普勒第一定律，行星的运动轨迹是椭圆。这也就意味着，行星受到了引力的影响。那么这种力有什么特点呢？

涉及到力，牛顿可以使用他的第二定律，并且在极坐标系下更加直观。从开普勒第二定律的数学表达式来看，行星所受的横向力为零。因此，行星受到的引力是一种有心力。

我们已经知道了引力是有心力，进一步我们就想知道它的表达形式。因此，我们要把开普勒第一定律和第二定律代入有心力方程。在这里，最有难度的是关于的计算。

我们首先从开始：。如果我们直接将此公式再对时间求导的话，那么计算量将是非常大的，你们可以自己尝试一下。在这里，我们将使用一个技巧，上下都同乘以p：。这样一来，我们就可以用椭圆定律和面积定律取代中间复杂的公式，从而得到一个简单的形式：。

接下来，我们再对它进行求导就比较简单了：。然后，我们再利用一次椭圆定律把ecosθ消掉，得到：。此外，我们利用面积定律很容易得到。这样一来，我们就可以得到行星所受的引力的形式为：。

但是，这个形式不理想，因为在公式中出现了一个与行星有关的常数。我们只能将这个式子称为“特有”引力公式，而不是万有引力公式。前面我们只用了开普勒第一和第二定律，牛顿认为第三定律是将特有转为万有的关键。

首先，行星的绕转周期T等于椭圆的面积处于掠面速度：。所以，根据开普勒第三定律，我们可以得到:。因此，我们可以用一个与行星无关的参数来代替：。

所以行星受到的引力就是，我们可以对太阳做同样的操作，得到太阳受行星的引力。根据牛顿第三定律， F(r)和F'(r)应该大小相等，于是我们得到，并且把这个比例设为引力常数G。于是，行星所受到的引力就是。

牛顿认为，这个引力常数G并不是太阳和行星所特有的，而是世间万物都遵守的规则，于是它把万有引力公式推广到所有的物体。

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编辑:静玲子