干货 | 解析过冲与相位裕量

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电路的二阶系统化

一些常见的反馈电路，通常都是二阶系统，我们以运放容性带载为例来讨论：

*运放的容性负载 *典型通用运放的开环增益曲线

其中，K为运放的DC开环增益，β是反馈系数(作为跟随器时，β=1，100倍放大时，β=0.01)。

1/τa是运放的低频主极点的角频率，1/τb是Zo和Co产生寄生极点的角频率。可见，τa>>τb。

上式可被转换为标准的二阶系统

由于K为运放的DC开环增益，所以Kβ>>1

其中，ωn为电路的自然频率，ξ为阻尼系数，且

时域过冲与阻尼系数的关系

我们知道，系统处于欠阻尼状态，即0<ξ<1，才会存在过冲的情况。

对一个标准的二阶系统来说，

可以求得其单位阶跃响应函数为：

当

求得阶跃响应第一个峰值对应的时间为：

所以过冲为

因此我们可以绘制如下过冲与阻尼系数的曲线

过冲可以经由在输入端给予一个小的阶跃信号，并测量输出端得到。如下图是在ξ=0.35的系统中在1ms时使用100mV阶跃输入所测得的过冲情况，过冲为31%。

相位裕量与阻尼系数的关系

我们接下去分析阻尼系数与相位裕量(Phase Margin)的关系

系统的环路增益为：

为了求得系统穿越频率ωc，可令|A(s)β|=1

求得

所以相位裕度

具此我们可以绘制如下相位裕量与阻尼系数的曲线

相位裕量与过冲的关系

由此，我们借由阻尼系数，得到相位裕量与过冲的关系，绘制曲线如下

由上图可知，当相位裕量大于70˚以上时已经几乎没有过冲

相位裕量60˚ 时， OS(60˚)≈8.8%

相位裕量45˚ 时， OS(45˚) ≈23.4%

我们的讨论是基于二阶系统的，所以如果实际的电路并非二阶系统，那么相位裕量与过冲的关系将并不严格遵循上述推论。但幸运的是，现实中的大部分电路都近似于二阶系统，所以通过观察过冲情况（OS）来判断系统稳定性的方法，对于有时候的系统调试（特别是，对于差分放大器或者SOC等并没有提供反馈引脚而无法采用环路分析仪的场合），或者定性分析，都是大有裨益的。

来源：砂力杰半导体

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