圆周率一定是3.14...吗？

来源：APC科学联盟

作者：∆δDelta

曾有一篇名为《勾股：2.013》的科幻小说在多年前的网络上风靡，甚至直至今日也会有人想起这篇文章。作品末尾有一段话引人遐想：

“不要从我们的角度去评价他们的智慧，也许我们的文明，也在某 个更大的扭曲时空之中呢——你难道不觉得，圆周率3.1416，也是 个非常古怪的数吗？”

事实上，这篇小说存在的漏洞颇多，但其文学价值不应被否定，它也确实激发了不少人学习科学以及数学的兴趣。直至今日，我们仍能借此为引，来简单科普一下关于圆周率值的问题。

回首这句令人浮想联翩的话语，圆周率π = 3.1415926 · · · 真的十分古怪

吗？这个数字真的是因为扭曲时空才导致的吗？

两个问题都是否定的。实际上，无理数并不应因其没有规律可循就在美学上被人诟病——这也太不公平了。难道有人能给任何艺术总结出来一个规律吗？（场外音：AI绘画！！！这不就是找到了艺术的“规律”才能用机器画出来的吗？）但定义这些AI的参数也是没有规律的呀？3202年了，神经网络的算法黑箱应该都知道吧？第二个问题就更扯了。众所周知，我们的3.14 · · · 是在平面的圆上计算出来的。这个平面是什么？是数学上的二维欧几里得空间，而定义这个空间只需要在实数集里两两取数，并给出计算这些数对(x, y)之间“距离”的公式即可。任你时空曲率九曲十八弯，改变的也是物理“平面”：比如生活中我们觉得很平的桌子，其实是弯曲的，只不过时空曲率让它看起来像平的，.etc。但数学上的平面是被定义出来的，现实中存在的一切事物都不能也不可能改变数学概念。

“解铃还须系铃人”，如果真的想改变圆周率，那我们只能从数学定义上入手。在这里，我们仍然认为接下来的讨论都是在实平面内的圆上进行的，也就是确定点位置的数字只有两个，而且这两个数字都从实数集中取得。那么还有哪里能改动呢？没错，别忘了我们还要给出计算“距离”的公式。在读研究生2年级时，我们接触过著名的两点（x1，y1），（x2，y2）之间距离公式：

同时，早在小学1年级老师就已经教过我们计算机中常用的曼哈顿距离(Manhattan Distance)，即两点在竖直方向上的差值加上在东西方向上的差值，写成公式就长这样：d₁ = |x₁ − x₂|+ |y₁ − y₂|.

刚听完“无规律不应在美学上被诟病”的你并不是很服气，马上开始找优美的规律了，并且自信满满地给出了关于p的距离公式：

对于你这种连猜带蒙的莽撞结论，我只能说...:

没错，这就是你在幼儿园大班睡过去的那节课老师所讲的内容。这个能够计算距离的函数（泛函），叫做“p-范数”。

你接下来要说的是：这个距离公式如何改变圆周率呢？还是看看远处的圆吧家人们。

更改距离公式后，首先影响到的是所谓“圆”的形状。我们不妨定义圆心在原点，半径取1，那么约束圆的方程就是：

在我们比较熟悉的曼哈顿距离下，“圆”变成谁的形状了呢？

变成了一个旋转45°的正方形！按照这个距离定义，它的周长C₁= 4×(1 + 1) = 8，那么圆周率记作π₁ =C₁/2= 4！不仅不是原先的3.14 · · · ，甚至连无理数都不是，摇身一变成了整数。至此，我们已经成功地解答了标题的问题：圆周率并不一定是3.14 · · · 。

更进一步地，我们想知道在其它范数下圆周率的值。先前说到的曼哈顿距离是p = 1的情况，那p可以比1更小吗？讨论这件事之前，我们先要回忆被我们抛弃多年的几何学知识：三角形两边之和大于第三边。在这里我们所说的边长是定义在p = 2的范数下计算出来的，然而在p > 1的情况下，这个几何学常识仍然成立。当p = 1时，三角形两边之和等于第三边，我们秉持着“差不多得了”的思想，认为1-范数也可以参加party；但是，p ∈ (0, 1)是不是有点过分了？两边之和比第三边还短，也就是说我直线走到目的地还不如绕路走一圈方便呗？所以在规范的范数里，我们认为p ≥ 1，即范数要满足三角不等式f(x + y) ≥ f(x) + f(y).

小了不行，看来大家都喜欢大的。如果让p越来越大，直到趋近正无穷呢？令d = max {|x₁ − x₂| , |y₁ − y₂|}，并回想在语文课上学过的极限知识，显然有：

又因为

根据夹逼原理，有

意思是，∞-范数下的距离等于竖直方向之差和水平方向之差中较大的那个，就是从|x₁ − x₂| , |y₁ − y₂|中取较大的值作为距离的值。

综上所述，圆的方程如下：

Cp : max {|x| , |y|} = 1

而根据方程，我们得到的图形如下。

在∞-范数下，这个“正方圆”（场外音：什么鬼名字）的边长是2，则周长C∞ = 8，圆周率π∞ =C∞/2= 4。

等等！你刚才，说了4对吧？！注意到，在1-范数和∞-范数下，圆周率都是4；而我们所熟悉的欧几里得空间，也就是2-范数的情况下，圆周率等于3.14 · · · < 4。随着p-范数中p的变化，圆周率会形成一个关于p的函数π(p)；为了防止和隔壁高斯研究的素数计数函数π(n)搞混，我们还是记作πp吧。坚信美学的你认为，这个函数πp一定是连续的，并且是从p =1, πp = 4单调递减，经过p = 2, πp = 3.14 · · · ，到达一个极小值——同时也是最小值，然后再单调递增，一直到无穷远处趋近于4。

不得不说，李云龙说得没错，你又猜对了。并且，你所说的最小值，刚好在p = 2时，取到我们熟知的3.1415926 · · · 。接下来的内容比较简单，都是胎教时期耳边重复的一些陈词滥调，大家没兴趣的可以跳过。利用一些数学小技巧，我们可以简单地计算出圆周Cp上两个无限接近的点的微元距离：

则圆周率

取第一象限y轴和直线y = x所夹的1/8圆弧，此时x ≥ 0, y ≥ 0，满足方程

，即xp + yp = 1，有

一眼整理得

好了好了，之前跳过的同学到这里可以停下来了。我们刚刚通过比较轻松愉快的计算，得到了πp关于p的函数表达式，验证了之前得到的p =1, 2, ∞时p-范数下的圆周率。接下来，我们要通过该表达式，得到πp的函数图像。然而，取其它值的p并不太好人为计算，只能祭出数值积分这个大杀器，利用计算软件逼近的近似数画出如下图像

这张图取自Joseph B. Keller和Ravi Vakil关于p-范数下圆周率计算的论文。至于我为什么不自己画，那就得问问神奇的mathematica了。先前计算积分的过程中，mma跑了半个多小时，给了我下面这个结果。

我：？

还是直接拿来主义吧。

从这幅图上我们可以看出，πp是一个从(1, 4)开始递减，在p = 2时取得最小值，接着不断增大趋近于4的连续函数，这验证了我们之前的猜想。

而每一个p ∈ [1, 2]，都有q ∈ [2, +∞)，使得πp = πq。事实上，只要满

足1/p+1/q= 1，就有πp = πq。关于此，我确信已发现一种绝妙的证法，可惜

已经接近尾声，这里空白的地方太小，我还是写到参考文献[1]里吧。

本次科普，我们不仅找到了改变圆周率的方法，还画出了圆周率变化

的函数图像。逐渐理解一切之后，再来回首这些拿着数学定义当噱头胡乱

改变的小说，是不是感觉到sometimes naive了呢？

参考文献

[1] Joseph B. Keller and Ravi Vakil, πp, the value of π inp.

[2] C. L. Adler and J. Tanton, π is the minimum value of Pi, College Math. J.

31 (2000)102–106.

END

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编辑：时生