史密斯圆图的历史和来龙去脉，了解其与反射系数和阻抗的关系

来源：EETOP作者：Dr.Steve Arar

来源：EETOP编译自allaboutcircuits

本文您将了解到史密斯圆图的历史和来龙去脉，以及它与反射系数的关系及如何使计算阻抗更容易。

史密斯圆图是一种图形化的 RF 设计工具，它使我们能够轻松计算将给定阻抗转换为另一个阻抗所需的阻抗匹配网络的组件。

早在 1930 年代，史密斯圆图就是高频工作的主要内容。对于今天的计算机，这种图形工具作为计算辅助工具可能已经变得不那么重要了;但是，它仍然是直观地可视化RF电路不同参数的有用工具。如此之多，以至于所有射频电路和系统模拟器以及测量设备（如网络分析仪）都可以直接在史密斯圆图上显示其输出。考虑到其广泛使用，有必要对史密斯圆图有透彻的了解，以便能够使用不同的射频模拟器和测量设备。

史密斯圆图对于通过手工计算设计阻抗匹配网络也非常有用。使用史密斯圆图设计阻抗匹配网络快速、直观，而且在实践中通常足够准确。

史密斯圆图上的反射系数：一个表现良好的参数

史密斯圆图基本上是反射系数的极坐标图（以及我们稍后将介绍的一些其他图）。考虑到史密斯圆图的广泛流通，您可能会正确地猜到反射系数参数在基于 RF 的工作中是最重要的。使用低频电路的模拟设计师通常使用阻抗概念来分析和建模他们的电路。当频率超过几百兆赫兹时，阻抗的概念就有些失去用处了。在更高频率下，反射系数的概念可能更有帮助。

为了更好地理解反射系数的独特特征，请参考图1中的图表，该图显示了一条以任意阻抗Z L.为终端的传输线。

图 1.传输线端接任意阻抗。

传输线沿线不同点的输入阻抗通过公式 1 给出：

等式 1

其中 (d)中的Γ，距离负载 d 处的反射系数，如等式 2 所示：

等式 2

在公式 2 中，β 是相位常数，Γ0是熟悉的负载反射系数，由此得出等式 3：

等式 3

等式 3 很容易理解；它给出了给定ZL的负载反射系数。例如，如果 ZL= 50 + j50 Ω 和Z0= 50 Ω，我们得到 Γ0= 0.2 + j0.4。等式 2 显示了反射系数如何沿线变化。如您所见， (d)中Γ 的大小是恒定的，等于 Γ0的大小（上述值为0.447）；然而，它的相位角随与负载的距离线性变化。

例如，如果βd（称为线路的电气长度）为45°，则（d）中Γ的相位角为Γ0的相位减去90°（63.4°- 90° = -26.6°）。图 2 中的以下极坐标图显示了如何从 Γ0以图形方式获得 (d)中的Γ。

图 2. 使用上述示例和方程式的示例极坐标图。

可以看出，对于给定的Γ0，(d)中沿线Γ的反射系数位于半径为|Γ0|的圆上。总而言之，反射系数是一个性能良好的 RF 参数，因为它的幅度沿线路恒定，并且其相位角随线路长度线性变化。线路阻抗不是这种情况。对于不匹配的负载，输入阻抗沿线路连续变化。对于 |Γ0|= 1，输入阻抗的大小可以在零和无穷大之间的任何地方。

高频反射系数——测量的简便性和可靠性

反射系数在高频工作中是一个更具吸引力的参数还有另一个原因。阻抗的概念很自然地将我们引向二端口网络表示，例如阻抗参数、导纳参数和混合参数。为了通过实验确定这些表示的参数，我们需要开路或短路适当的网络端口。然而，在高频下，很难提供短路和开路条件，尤其是在很宽的频率范围内。此外，有源高频电路在开路或短路时可能会振荡。

另一方面，反射系数的概念与S参数表示密切相关。使用这种类型的网络表示，网络的适当端口终止于线路的特性阻抗。例如，下图（图 3）测量了两个 S 参数，即 S11（输入反射系数）和S21（从端口 1 到端口 2 的传输系数）。

图 3. 显示两个 S 参数的示例图。

与其他类型的网络表示相比，S 参数的一大优势是 S 参数测量所需的宽带电阻终端在实践中是可以实现的。这使我们能够进行准确且可重复的射频测量。

史密斯圆图的发明

ATT 工程师Philip Smith 于 1933 年发明了 Smith 圆图，以简化传输线的输入阻抗计算。如上所述，史密斯圆图是反射系数的极坐标图。然而，在那些日子里，工程师们习惯于使用阻抗概念。反射系数的图表对他们来说没有多大意义。

首先，我们设置一些背景来了解史密斯发明的重要性。S 参数由 K.Kurokawa 在 1960 年代引入。在史密斯圆图发明 30 多年后的1960 年代，还引入了使用 S 参数将 RF 组件表征为千兆赫区域的网络分析仪。Smith 至少已经认识到反射系数相对于阻抗的一些优势，并决定使用 Γ 概念来解决他所涉及的问题。为了能够用熟悉的阻抗参数术语与其他工程师交谈，Smith还决定包括一些阻抗图，以便可以轻松找到给定反射系数的等效阻抗，反之亦然。通过绘制 Γ 平面中恒定电阻和电抗的等值线，

图 4. 史密斯圆图示例。

在大多数 Smith 圆图中，Γ 平面的实轴和虚轴没有显示，因为实际上没有必要明确显示它们。这给我们留下了一些分别对应于恒定电阻和电抗等值线的圆和弧。让我们看看这些偶尔会变得令人生畏和困惑的等高线是如何获得的，以及我们如何解释它们。

史密斯圆图归一化阻抗

史密斯圆图基于Γ0和阻抗之间的关系（等式3）。请务必注意，等式3 描述了这两个参数之间的一对一关系，因此知道一个就等同于知道另一个。此外，史密斯圆图是使用归一化阻抗绘制的，定义如下：

等式 4

其中 r 和 x 是归一化阻抗的实部和虚部。绘制归一化阻抗允许我们对具有不同参考阻抗的系统使用相同的图表。但是，我们需要记住，我们从图表中读取的阻抗应该乘以Z0才能找到我们系统的实际阻抗值。另请注意，使用归一化阻抗不会改变 Γ0方程。为了用归一化阻抗表示 Γ0，我们将等式 3 的分子和分母都除以 Z0 ，这显然不会改变等式。根据 z 的Γ0方程如下所示：

等式 5

因此，虽然史密斯圆图上显示的阻抗已归一化，但反射系数并未归一化。等式 5 是确定给定 z 如何产生其对应 Γ 的映射函数。这个方程实际上是一个双线性变换。这个名字源于它是两个线性函数的比率。双线性变换将圆映射为圆。请记住，对于数学家来说，直线也是圆的特例。

恒阻圆

作为双线性变换，等式 5 将常数 r 的线（或具有常数实部的阻抗）映射到 Γ 平面中的圆。例如，直线 z = 0 + jx 被转换为以 Γ 平面原点为中心、半径为 1 的圆（请参见下方图 5 中的蓝线和蓝圈）。

图 5. 双线性变换示例。

类似地，变换将线 z = 1 + jx 映射到以 u = 0.5 和 v = 0 为中心的半径为 0.5 的圆。通常，可以证明具有常数 r 的阻抗被变换为半径为为中心的圆 并且v = 0。

恒电抗环

对于某些 x 值，具有恒定电抗的阻抗映射如图 6 所示。

图 6. 具有恒定电抗的阻抗映射示例。

同样，等式 5 的双线性变换将 x 常数（或具有常数虚部的阻抗）的线映射到 Γ 平面中的圆。请注意，上图中仅显示了这些圆中位于单位圆内的部分。使用无源负载时，|Γ|不能超过unity。这意味着阻抗在单位圆内具有 r ≥ 0 映射。这就是为什么我们在处理史密斯圆图时通常对局限于单位圆的区域感兴趣。只有一部分恒电抗圆落在单位圆内，因此，这些曲线表现为一些圆弧而不是完整的圆。

通常，具有常数 x 的阻抗被转换为半径为1/x 的圆，中心是u=1 和 v=1/x。史密斯图是反射系数与上述恒定电阻和电抗轮廓线叠加的极坐标图（上图4）。

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编辑：六块钱的鱼