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从爱因斯坦场方程推导出来的弗里德曼方程能告诉我们什么

来源:中科院半导体所发布时间:2022-04-28

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文章来源：万象经验（UR4351）

作者：Eugene Wang

广义相对论的核心是爱因斯坦场方程，在求解空间均一且各向同性的膨胀宇宙模型时，可以将这10个爱因斯坦场方程简化为只有两个方程，称为弗里德曼方程。其中一个方程如下图所示。

字母a被称为比例因子，它代表了宇宙的大小，更为准确的是将其视为星系之间的平均距离。弗里德曼方程还告诉我们a如何随时间变化，a上面带一点就是a对时间的导数，它代表了宇宙的膨胀速度。

让我们先把目光停留在等号的左边，事实上它是一个能量方程。左边第一项类似于膨胀的动能，但这种动能被左边第二项能量的引力效应所抵制，其中ρ是宇宙的物质密度。所以第二项代表了宇宙自身减速的能力，类似于引力势能。这两个类似能量的术语之间的平衡将告诉我们宇宙的命运，它有几种可能性。

如果膨胀的动能和坍缩的势能完全平衡，那么宇宙将会停止膨胀并不会缩小。在这种情况下，等式的左边刚好等于零。但如果等式的结果是大于零，也就是说膨胀的动能大于势能，宇宙将永远膨胀下去。最后一种可能性是小于零，宇宙将先膨胀后缩小。那么，答案是什么？宇宙会永远膨胀还是会回缩？

很长一段时间，科学家认为宇宙最终的命运在于宇宙的密度ρ。所以几十年来，天文学家一直在努力测量宇宙大范围内物质和暗物质的质量总和。事实证明，宇宙的密度太低了，只有扭转膨胀所需密度的四分之一。因此，弗里德曼方程的左边项是正的，宇宙将永远膨胀。

但是请等等，我们还没看看等式的右边项。根据上述推论，我们知道它应该也为正数。但是，右边项所描述的东西与左边项完全不同，它描述了空间的形状（曲率）。根据弗里德曼的第一个方程，宇宙的命运由膨胀和密度决定，本质上也应该与它的形状有关。然而，我们将看到方程的左右两部分之间的不匹配。

宇宙的形状

等式右边项描述了空间的曲率，它取决于k值，k在某种意义上是宇宙的形状，k可以是+1、-1或0。

k等于+1，这意味着宇宙具有正曲率的空间几何形状，宇宙瞬时的空间快照将像球体表面一样弯曲。在这样的宇宙中，几何会变得很奇怪，例如三角形的内角和超过180度。这样一个宇宙的总空间体积是有限的，我们称之为封闭几何。如果k等于-1，则宇宙是负弯曲的。同样几何也会很奇怪，三角形内角和小于180度。这样的宇宙是无限大的，或者说是开放的。k如果等于0，意味着宇宙是平的。一个平坦的宇宙在三个空间维度上仍然是无限的（开放的）。